Multiplicación de los panes y los peces: ¡Jesús matemático!

Hoy vamos a hablar de una paradoja muy curiosa: la paradoja de Banach-Tarski. Para ello es necesario hablar antes de una propiedad muy interesante de los grupos y muy poco conocida, de hecho no tengo traducción en español para la palabreja en cuestión: "amenability" en inglés o "moyennabilité" en francés (derivada de "moyenne", es decir, "media" o "promedio" en español); como prefiráis.

Muchos de los guionistas de Futurama son matemáticos y físicos,
de ahí los guiños de la serie a la ciencia.

¿En qué consiste esta propiedad? Lo cierto es que no es fácil describir precisamente en qué consiste esta propiedad porque existen cientos de definiciones equivalentes de la "moyennabilité" y que, además, involucran ramas muy diversas de las matemáticas (desde el álgebra más elemental, pasando por la teoría de la probabilidad y llegando al análisis o la geometría diferencial).

Una primera definición podría ser: "un grupo se dice moyennable si admite un tipo especial de medida". La idea original era dar una definición de medida más general que aquella de Lebesgue, sin embargo, no se podían imponer los axiomas de Lebesgue tal cuales para dar la generalización buscada por von Neumann en este caso. Así, con ciertas modificaciones de los axiomas originales se llega a la noción de "moyennabilité". Investigando e investigando se llegaron a dar ciertas caracterizaciones más útiles en la práctica como por ejemplo la de los conjuntos paradoxales, que es la que nos incumbe para la paradoja.

En pocas palabras, un conjunto es paradoxal cuando es posible construir una partición del mismo de manera que por medio de alguna transformación de estos trocitos (utilizando la acción de algún grupo) podamos obtener todo el conjunto en su totalidad. Resulta que un grupo es moyennable si no es un conjunto paradoxal.

¡Ataquemos entonces la paradoja! De forma sencilla, lo que afirma la paradoja de Banach-Tarski es que es posible dividir una esfera en pequeñas piezas (construir una partición), transformar esas piezas -ya sea rotándolas o cambiándolas de posición- y reunir las nuevas piezas (como si de un puzle se tratara) para construir ¡2 esferas idénticas a la esfera de partida!

¿Cómo se explica matemáticamente? La solución está en la propiedad de la que hemos hablado más arriba. Nuestro conjunto es ahora la esfera y lo que afirma la paradoja es que la esfera es un conjunto paradoxal. Ahora bien, para llevar a cabo el proceso de reordenación de las piezas en que hemos descompuesto la esfera necesitamos un grupo de transformaciones elementales que lo haga posible, el grupo buscado en este caso es el grupo de las isometrías de ℝ³. La explicación es entonces que este grupo no es moyennable, luego la esfera es paradoxal con respecto al grupo de isometrías.

Es importante decir una última cosa: el problema que acabamos de plantear es efectivamente una "paradoja" para nuestra intuición puesto que, en términos más físicos o haciendo un análisis más profundo del resultado, lo que estamos diciendo es que es posible duplicar la materia (obtenemos dos esferas a partir de una) sin ninguna duplicación de energía (no hacemos más que reordenar las piezas de un puzle), es decir, creamos algo de la nada; lo cual, de momento, no es posible... Sin embargo, matemáticamente está demostrado que es así, es un hecho; pero es un hecho matemático. Más precisamente, cuando se demuestra el teorema, las piezas en que se descompone la esfera no son piezas "medibles", es decir, no son piezas que podamos observar ni tan siquiera de las que podamos tener una intuición; luego en realidad el teorema no es una paradoja como tal, ya que el teorema afirma la duplicación de la esfera, pero en ningún momento se hace referencia a piezas de las que podamos tener constancia.

Las matemáticas nos ofrecen unos rincones que no podemos ver ni imaginar, pero a los que desearíamos llegar para hacerles un retrato...